命题逻辑的基本概念
一些简单定义
命题：能判断其真假的陈述句（要么为真，要么为假）。
简单命题（原子命题）：不能再被拆分的命题。
复合命题：由简单命题通过联结词连接而成。
重言式（永真式）：公式真值恒为1.
矛盾式（永假式）：公式真值恒为0.
可满足式：不是矛盾式。
命题联结词
| 联结词 | 非 | 并且（合取） | 或（析取） | 如果…则… | 当且仅当 |
|---|---|---|---|---|---|
| 符号化 | ¬ | ∧ | ∨ | → | ↔ |
① 非（¬P）
| P | ¬P |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
② 并且（P ∧ Q）
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
③ 或（P ∨ Q）
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
④ 如果…则…（P → Q）
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
⑤ 当且仅当（P ↔ Q）
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
例题
1. 小丽喜欢唱歌或者喜欢跳舞。
- 令 P：小丽喜欢唱歌，Q：小丽喜欢跳舞
- 则：P ∨ Q
- （"∨" 为兼容或）
2. 今天晚上小丽看书或者打球。
- 令 P：今晚小丽看书，Q：今晚小丽打球
- 则：(P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)
- （日常语境中"或者…或者…"为不兼容或，二者不能同时成立）
3.如果天气好，我就去公园。
- 令 P：天气好，Q：我去公园
- 则：P → Q
| 自然语言表达 | 符号化 |
|---|---|
| 如果天气好，我就去公园 | P → Q |
| 只要天气好，我就去公园 | P → Q |
| 只有天气好，我才会去公园 | Q → P |
| 仅当天气好，我才去公园 | Q → P |
在 P → Q 中，P 是条件（前件），Q 是结论（后件），P 是 Q 的充分条件。
4.经一事，长一智，并且不经一事，不长一智。
- 令 P：经一事，Q：长一智
- 则：(P → Q) ∧ (¬P → ¬Q)
5.天津是直辖市的充要条件是 2+3=5。
- 令 P：天津是直辖市，Q：2+3=5
- 则：P ↔ Q
6.用真值表法求 p ∧ r ∧ ¬(q → p)
极其简单，需掌握。（计算题）。
| p | q | r | p ∧ r | q → p | ¬(q → p) | p ∧ r ∧ ¬(q → p) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |