代数系统：群、环、域
代数系统：集合和定义在集合上的运算构成
一、半群与群
只有一个二元运算的代数系统
定义 1（半群 / 含幺半群 ）
设 是代数系统， 为二元运算：
| 条件 | 名称 |
|---|---|
| 是可结合的 | 是半群 |
| 半群 中 运算含有幺元 | 是含幺半群（独异点），记作 |
| 半群 中 是可交换的 | 是可交换半群 |
| 独异点 中 是可交换的 | 是可交换独异点 |
定义 2（群）
设 是代数系统， 为二元运算：
- 若 是可结合的， 幺元 ，且 ，有 ，称 为群。
- 群 中 可交换，称 为可交换群（阿贝尔群）。
经典练习：判断各代数系统的类型
| 代数系统 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 半群 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 可交换半群 | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✗ |
| 含幺半群 | ✗ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ |
| 群 | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ |
| 可交换群 | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | — |
注意
不是群：，但 ，而 ，逆元不存在。
📝 例题 1
在 中定义二元运算 ：，证明 构成独异点。
证：
封闭性：，，故 封闭。
结合性：
故 ， 可结合。
- 幺元：对 ，：
故 为幺元。
综上， 为独异点。✓
📝 例题 2
设 为整数集合，在 上定义二元运算 ：，问 是否构成群？
解：
封闭性：，，封闭。
结合性：
故 可结合。
幺元：设 ，则 ，解得 。故单位元为 。
逆元：设 ，则 ，解得 。
结论
是群。✓
二、子群
定义
设 是群， 是 的非空子集，若 也构成群，称 是 的子群，记作 。
平凡子群： 和 是 的平凡子群。
子群的判定定理
Th1（两条件判定）
为群， 是 的非空子集， 是 的子群
- ，有 （封闭）
- ，有 （逆元封闭）
⭐ Th2（一条件判定，常用！）
为群， 是 的非空子集， 是 的子群
Th3（有限集判定）
为群， 是 的有限非空子集， 是 的子群 ，有
📝 子群例题
设 是一个群，，令 ，证明 是 的子群。
证：
- ，故 是 的非空子集。
- ， 使得 ，则：
- 由 Th2， 是 的子群。✓
称为由 生成的子群，记作 。
三、循环群
定义
群 中如果存在 ，使得
称 为循环群，记 ， 称为 的生成元。
例：求群 的子群 ，
其中 ，
求 ：
| 幂次 | 计算 | 结果 |
|---|---|---|
| （循环） |
求 ：
| 幂次 | 计算 | 结果 |
|---|---|---|
| （循环） |
补充
- （生成元）
是循环群。
也是循环群
生成元为 或 ：
四、环与域
定义（环）
定义
设 是代数系统，、 为二元运算，若：
- 为可交换群（结合、交换、逆元）
- 为半群（结合）
- 对 满足分配律
则称 为环。
定义（整环 / 除环 / 域）
| 类型 | 额外条件 | 名称 |
|---|---|---|
| 环 + 交换 + 含幺 + 无零因子 | 或 | 整环 |
| 环 + 含幺 + 无零因子 + 有 | — | 除环 |
| 既是整环又是除环 | — | 域 |
零因子条件
或 （无零因子）
练习：判断各集合构成环/整环/域
设 ，、 分别为实数的加法、乘法：
| 奇数集 | 偶数集 | |||
|---|---|---|---|---|
| 环 | ✗（） | ✓ | ✓ | ✗ |
| 整环 | ✗ | ✗（无幺元） | ✓ | ✗ |
| 域 | ✗ | ✗ | ✓ | ✗ |
偶数集说明
偶数集 构成环（满足加法交换群、乘法半群、分配律），但不是整环（无乘法幺元）。
知识结构总览
代数系统 ⟨S, *⟩
└── 半群（结合律）
├── 可交换半群（+ 交换律）
└── 含幺半群/独异点（+ 幺元）
├── 可交换独异点
└── 群（+ 逆元）
└── 可交换群/阿贝尔群（+ 交换律）
└── 循环群（存在生成元）
代数系统 ⟨R, +, ·⟩
└── 环（+ 可交换群，· 半群，分配律）
├── 整环（+ 交换 + 含幺 + 无零因子）
├── 除环（+ 含幺 + 无零因子 + 每个非零元有逆）
└── 域（整环 ∩ 除环）