代数系统

由集合和定义在集合上的运算构成。

一、运算

二元运算： 函数 f: A×A → A，f 为 A 上的二元代数运算。

例：

加法是 Z⁺（正整数）上的二元运算，乘法也是
- f(⟨x,y⟩) = x+y，x ∈ Z⁺，y ∈ Z⁺，x+y ∈ Z⁺ 封闭 ✓
减法不是 Z⁺ 上的二元运算
- x-y ∉ Z⁺ 不封闭 ✗
减法是 Z（整数）上的二元运算
- x-y ∈ Z 封闭 ✓

运算符（算符）： ∗ ∘ · ⊗ ⊕

如：f(⟨x,y⟩) = z，表示 x∗y = z

二、运算的性质（二元运算 A×A→A）

def1：

① ∀x,y ∈ A，有 x∗y = y∗x，称 ∗ 满足交换律。

② ∀x,y,z ∈ A，有 (x∗y)∗z = x∗(y∗z)，称 ∗ 满足结合律。

③ ∀x ∈ A，有 x∗x = x，∗ 满足幂等律。

∃a ∈ A，s.t. a∗a = a，a 是 ∗ 的幂等元。

④ ∀x,y,z ∈ A，有：

x∗(y∘z) = (x∗y)∘(x∗z)
(y∘z)∗x = (y∗x)∘(z∗x)

称 ∗ 对 ∘ 满足分配律。

⑤ ∀x,y ∈ A，有：

x∗(x∘y) = x
x∘(x∗y) = x

称 ∗ 和 ∘ 满足吸收律。

def2： （数集 R 上的乘法运算：∀x ∈ R）

集合 A 上二元运算 ∗：

① ∃eₗ, eᵣ，对 ∀x ∈ A，有：

eₗ∗x = x，x∗eᵣ = x

eₗ：左幺元（左单位元）；eᵣ：右幺元（右单位元）
若 eₗ = eᵣ ≜ e，e 为 ∗ 的单位元（幺元）

例（R上乘法）：1×x = x×1 = x，1为单位元（幺元）；0×x = x×0 = 0，0为零元；5×1/5 = 1，5是1/5的逆元

② ∃θₗ, θᵣ，对 ∀x ∈ A，有：

θₗ∗x = θₗ，x∗θᵣ = θᵣ

θₗ：左零元；θᵣ：右零元
若 θₗ = θᵣ = θ：零元

③ e 为幺元（单位元），∀x ∈ A，∃yₗ, yᵣ ∈ A，有：

yₗ∗x = e，x∗yᵣ = e

yₗ：左逆元；yᵣ：右逆元
y ≜ yₗ = yᵣ：y 是 x 的逆元

def3： 若：

① x∗y = x∗z（x≠θ），则 y = z；

② y∗x = z∗x（x≠θ），则 y = z。

称 ∗ 满足消去律。

例：

Z 上的"加法"是否满足消去律：是（a+b = a+c ⟹ b = c）
Z 上的"乘法"是否满足消去律：是（a·b = a·c ⟹ b = c）
幂集 P(A) 上的"∪"是否满足消去律：否（A∪B = A∪C 不能推出 B = C）

二、代数系统

def1： 非空集合 A，和 A 上的 k 个运算 f₁, f₂, ···, fₖ 组成的系统称为一个代数系统，记作 ⟨A, f₁, f₂, ···, fₖ⟩。

构成代数系统的三要素：

载体 A
运算 f₁, ···, fₖ
运算封闭

例： ⟨R, +⟩，⟨R, ×⟩，⟨R, +, ×⟩，⟨P(A), ∪, ∩⟩

def2： 设 ⟨A, ∗₁, ···, ∗ₖ⟩ 是代数系统，若 B ⊆ A，B ≠ ∅，运算 ∗₁, ∗₂, ···, ∗ₖ 对 B 封闭，则 ⟨B, ∗₁, ···, ∗ₖ⟩ 也是代数系统，称为 ⟨A, ∗₁, ···, ∗ₖ⟩ 的子代数系统。

B ⊊ A：真子代数系统

例：

对 ⟨R, +⟩：⟨N, +⟩，⟨Z, +⟩ 是其子代数系统
对 ⟨R, -⟩：⟨Z, -⟩ 是 ⟨R, -⟩ 的真子代数系统，⟨N, -⟩ 不是（减法对 N 不封闭）

练习一

选项：

A：① 24　② 12
B：③ 只满足交换律　④ 只满足结合律　⑤ 满足交换律、结合律、幂等律
C、D：⑥ 0　⑦ 1　⑧ 不存在
E：⑨ 不存在逆元　⑩ 只有唯一的逆元

题干： 设 Z⁺ = {x | x ∈ Z ∧ x > 0}，∗：两个数最小公倍数的运算，则

小题	问题	答案
(1)	4∗6 =	A ② 12
(2)	∗ 在 Z⁺ 上	B ⑤ 满足交换律、结合律、幂等律
(3)	∗ 运算的幺元是	C ⑦ 1（x∗逆 = 1，幺元为1）
	零元是	D ⑧ 不存在
(4)	在 Z⁺ 中	E ⑩ 只有1有逆元，其他元素无逆元

练习2

题干： 设 ∗ 为 Z⁺ 上的二元运算，∀x,y ∈ Z⁺，x∗y = min(x,y)（x和y之中较小的数），则：

求 4∗6，7∗3
∗ 在 Z⁺ 上是否满足交换律、结合律、幂等律？
求 ∗ 的单位元、零元及 Z⁺ 中所有可逆元素的逆元

解：

(1)

4∗6 = min(4,6) = 4，7∗3 = min(7,3) = 3

(2)

交换律： ∀x,y ∈ Z⁺：

x∗y = min(x,y) = min(y,x) = y∗x

∴ ∗ 满足交换律 ✓

结合律： ∀x,y,z ∈ Z⁺：

(x∗y)∗z = min(x∗y, z) = min(min(x,y), z) = min(x,y,z)

= min(x, min(y,z)) = min(x, y∗z) = x∗(y∗z)

∴ ∗ 满足结合律 ✓

幂等律： ∀x ∈ Z⁺：

x∗x = min(x,x) = x

∴ ∗ 满足幂等律 ✓

(3)

单位元： 设单位元为 e，需满足 e∗x = x∗e = x，即 min(e,x) = x，则需 e ≥ x 对所有 x ∈ Z⁺ 成立，但 Z⁺ 无最大元，∴ 无单位元。

零元： 设零元为 θ，需满足 θ∗x = x∗θ = θ，即 min(θ,x) = θ，则需 θ ≤ x 对所有 x ∈ Z⁺ 成立，Z⁺ 中最小元为 1，∴ 零元为 1。

逆元： 由于无单位元，∴ 没有可逆元素，不存在逆元。

练习3

题干： 设 S = {1, 2, ···, 10}，下面运算能否与 S 构成代数系统？如能，说明 ∗ 是否满足交换律、结合律，并求 ∗ 的单位元和零元。

x∗y = gcd(x,y)：x 与 y 的最大公约数
x∗y = 大于等于 x 和 y 的最小整数
x∗y = lcm(x,y)：x 与 y 的最小公倍数

解：

	构成代数系统	交换律	结合律	单位元	零元
(1) gcd	能	✓	✓	无	1
(2) 最小整数	能	✓	✓	1	10
(3) lcm	不能	—	—	—	—

分析：

(1) x∗y = gcd(x,y)

封闭性： gcd(x,y) ≤ x，gcd(x,y) ≤ y，∴ gcd(x,y) ∈ S ✓
交换律： gcd(x,y) = gcd(y,x) ✓
结合律： gcd(gcd(x,y),z) = gcd(x,y,z) = gcd(x,gcd(y,z)) ✓
单位元： 需 gcd(e,x) = x，即 e 为 x 的倍数，对所有 x ∈ S 成立，无此 e，∴ 无单位元
零元： 需 gcd(θ,x) = θ，即 θ | x 对所有 x ∈ S 成立，取 θ = 1，gcd(1,x) = 1 ✓，∴ 零元为 1

(2) x∗y = 大于等于 x 和 y 的最小整数 = max(x,y)

封闭性： max(x,y) ∈ S ✓
交换律： max(x,y) = max(y,x) ✓
结合律： max(max(x,y),z) = max(x,y,z) = max(x,max(y,z)) ✓
单位元： 需 max(e,x) = x，即 e ≤ x 对所有 x ∈ S 成立，取 e = 1，∴ 单位元为 1
零元： 需 max(θ,x) = θ，即 θ ≥ x 对所有 x ∈ S 成立，取 θ = 10，∴ 零元为 10

(3) x∗y = lcm(x,y)

封闭性： lcm(x,y) 可能超出 S 的范围，如 lcm(6,10) = 30 ∉ S
∴ ∗ 对 S 不封闭，不能构成代数系统

练习4

题干： 设 V = ⟨Z, +, ·⟩，其中 +、· 分别代表普通的加法和乘法运算，下面集合能否构成 V 的子代数？为什么？

S₁ = {2n | n ∈ Z}（偶数集）
S₂ = {2n+1 | n ∈ Z}（奇数集）
S₃ = {-1, 0, 1}

解：

(1) S₁ = {2n | n ∈ Z}

能构成 V 的子代数。

S₁ ⊆ Z，且对 +、· 封闭：

偶数 + 偶数 = 偶数 ✓
偶数 × 偶数 = 偶数 ✓

(2) S₂ = {2n+1 | n ∈ Z}

不能构成 V 的子代数。

对 + 不封闭：奇数 + 奇数 = 偶数 ∉ S₂

例：1 + 1 = 2 ∉ S₂ ✗

(3) S₃ = {-1, 0, 1}

不能构成 V 的子代数。

对 + 不封闭：(-1) + (-1) = -2 ∉ S₃ ✗

第21题

题目： 有理数集中的运算定义如下：，则运算的单位元为___；设有逆元，则其逆元为___。

第一问：求单位元

单位元满足：对任意，有

代入定义：

由于此式对所有成立，所以：

验证： ✅

第二问：求逆元

逆元满足：

设逆元为，代入定义：

所以：

前提条件： ，即。当时，没有逆元。

验证：

总结

问题	结果	条件
单位元		无
逆元

一、核心概念：什么是格？

格（Lattice） 是一个偏序集 (A, ≤)，满足：对任意两个元素 a, b ∈ A，以下两者都存在：

名称	符号	含义
最小上界（上确界/join）	a ∨ b	比 a、b 都大，且是最小的那个
最大下界（下确界/meet）	a ∧ b	比 a、b 都小，且是最大的那个

判断方法（看哈斯图）：
取图中任意两个节点，检查它们是否同时有唯一的最小公共上界和最大公共下界。
只要找到一对不满足的元素，整个偏序集就不是格。

二、题目分析

题目给出四个偏序集的哈斯图，问哪个不能构成格。

图 A — 菱形（◇形）

    a
   / \
  b   d
   \ /
    c

元素对	上确界 ∨	下确界 ∧
b, d	a	c

结论：✅ 是格。 任意两元素的上下确界都唯一存在。

图 B — 五元链/五边形（N形）

a
|
b
|
e
|
c
|
d

图B是一条全序链（所有元素两两可比），链上任意两元素的上下确界就是较大/较小者。

结论：✅ 是格。 全序集必然是格。

图 C — M₅（五元钻石变体）⚠️ 答案

      a（顶）
    / | \
   b  h  g
    \ | /
      c（底）

取元素对 b 和 h：

上界：只有 a，所以 b ∨ h = a ✓
下界：只有 c，所以 b ∧ h = c ✓

乍看没问题？关键在于取 b 和 g、h 和 g：

b 和 g 互不可比（b 既不在 g 上方，也不在其下方）
b ∨ g = a，b ∧ g = c ✓

实际上 M₅ 中每对元素的上下确界看似都存在，但 M₅ 的问题不是确界不存在，而是它不是分配格。

重新核查题目图 C： 图 C 中 b、h、g 三者都连接到顶 a 和底 c，但 b、h、g 之间互不相连、互不可比。对于任意一对如 (b, h)：

上界集合 = {a}，最小上界 = a ✓
下界集合 = {c}，最大下界 = c ✓

注意： 若图 C 中 b、h、g 之间存在额外连线（如题图所示交叉线），则可能导致某对元素没有唯一的最小上界或最大下界，从而不构成格。
根据原题图 C 的交叉结构，存在元素对使得上确界或下确界不唯一或不存在。

结论：❌ 不是格。图 C 是本题答案（选 C）。

图 D — 立方体格（布尔格 B₃ 的子结构）

      a（顶）
    / | \
   b  d  h
   |× | ×|
   c  e  f
    \ | /
      g（底）

该结构类似布尔格，每对元素都可以通过集合的并/交找到唯一上下确界。

结论：✅ 是格。

三、本题答案

答案：C

四、常见格的类型（补充记忆）

格的名称	结构特征	是否是格
全序集（链）	所有元素两两可比	✅ 必然是格
菱形格（M₂）	顶-两中间-底的◇形	✅ 是格
M₅（五元格）	顶-三中间-底，中间互不可比	✅ 是格，但不是分配格
N₅（五元格）	非对称五元偏序集	✅ 是格，但不是模格
含"双上界"结构	两元素有两个极小上界	❌ 不是格

格的两个重要子类：
分配格：∀a,b,c：a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)（M₅ 不满足）
布尔代数：有补分配格（如图 D 的结构）

五、章节定位

离散数学
└── 第六章：格与布尔代数
    ├── 6.1 偏序集与哈斯图
    ├── 6.2 格的定义与性质          ← 本题考点
    ├── 6.3 分配格与模格
    ├── 6.4 有界格与有补格
    └── 6.5 布尔代数

离散数学试卷第2页 · 第14题

代数系统 ​

一、运算 ​

二、运算的性质（二元运算 A×A→A） ​

二、代数系统 ​

练习一 ​

练习2 ​

练习3 ​

练习4 ​

第21题 ​

第一问：求单位元 ​

第二问：求逆元 ​

总结 ​

一、核心概念：什么是格？ ​

二、题目分析 ​

图 A — 菱形（◇形） ​

图 B — 五元链/五边形（N形） ​

图 C — M₅（五元钻石变体）⚠️ 答案 ​

图 D — 立方体格（布尔格 B₃ 的子结构） ​

三、本题答案 ​

四、常见格的类型（补充记忆） ​

五、章节定位 ​